ベンフォードの法則は何故成り立つか?

サイエンス記事

2のべき乗の場合についてベンフォードの法則が何故成り立つか確かめてみましょう。

■先頭の数字が1となる場合

以下の特殊ケースについて考える。

$2^1, 2^2, 2^3, \cdots , 2^{100}$

について、先頭の数字が1となる場合を求める。
先頭の数字が1となる条件は

$1 \times 10^m \leq 2^k < 2 \times 10^m$

常用対数をとると

$m \leq k \log 2 < m + \log 2$

kの満たすべき条件は

$\begin{align}
\frac{m}{\log 2} \leq k < \frac{m + \log 2}{\log 2}
\end{align}$

$k$が入る区間の幅を$x_1$とすると

$\begin{align}
x_1 &= \frac{m + \log 2}{\log 2} – \frac{m}{\log 2}\\
&= 1
\end{align}$

■先頭の数字が2となる場合

同様にして先頭の数字が2となる条件は

$2 \times 10^m \leq 2^k < 3 \times 10^m$

常用対数をとると

$m + \log 2 \leq k \log 2 < m + \log 3$

kの満たすべき条件は

$\begin{align}
\frac{m + \log 2}{\log 2} \leq k < \frac{m + \log 3}{\log 2}
\end{align}$

$k$が入る区間の幅を$x_2$とすると

$\begin{align}
x_2 &= \frac{m + \log 3}{\log 2} – \frac{m + \log 2}{\log 2}\\
&= \frac{\log 3 – \log 2}{\log 2}
\end{align}$

■先頭の数字が3となる場合

同様にして先頭の数字が3となる条件は

$3 \times 10^m \leq 2^k < 4 \times 10^m$

常用対数をとると

$m + \log 3 \leq k \log 2 < m + \log 4$

kの満たすべき条件は

$\begin{align}
\frac{m + \log 3}{\log 2} \leq k < \frac{m + \log 4}{\log 2}
\end{align}$

$k$が入る区間の幅を$x_3$とすると

$\begin{align}
x_3 &= \frac{m + \log 4}{\log 2} – \frac{m + \log 3}{\log 2}\\
&= \frac{\log 4 – \log 3}{\log 2}
\end{align}$

■先頭の数字がnとなる場合

一般に先頭の数字が$n$($= 1, 2, 3, \cdots , 9$)となる条件は

$n \times 10^m \leq 2^k < (n+1) \times 10^m$

常用対数をとると

$m + \log n \leq k \log 2 < m + \log (n+1)$

kの満たすべき条件は

$\begin{align}
\frac{m + \log n}{\log 2} \leq k < \frac{m + \log (n+1)}{\log 2}
\end{align}$

$k$が入る区間の幅を$x_n$とすると

$\begin{align}
x_n &= \frac{m + \log (n+1)}{\log 2} – \frac{m + \log n}{\log 2}\\
&= \frac{\log (n+1) – \log n}{\log 2}
\end{align}$

■先頭の数字がnとなる確率を求める

ところで

$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_9$

$\begin{align}
&= \frac{\log 2 + (\log 3 – \log 2) + (\log 4 – \log 3) + \cdots + (\log 10 – \log 9)}{\log 2}\\
&= \frac{1}{\log 2}
\end{align}$

よって
先頭の数字がnとなる確率は

$\begin{align}
p_n &= \frac{x_n}{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_9}\\
&= \frac{\frac{\log (n+1) – \log n}{\log 2}}{\frac{1}{\log 2}}\\
&= \log (n+1) – \log n
\end{align}$